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谜一般的0.618——黄金分割的来历

2019-10-6      来源:      作者:

有一个在经济生活、科学研究中都很有用的数——0.618,由它决定了一种最优化方法。使用它,人们节约了大量的时间、财力和物力,当人们探讨它的来历时才发现它竟是一种纯数学思考的产物!纯数学思考的产物怎么会那么符合实际?这就是这个数中所包含的一个美丽的谜语。

欧多克斯的“中外比”

欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家,他曾研究过大量的比例问题,并创造了比例论。在研究比例的过程中,有一次提出这样一个问题:能否将一条线段分为不相等的两部分,使较长部分为原线段和较短部分的比例中项?

他通过研究发现,可以将一已知线段分为两段,使之满足长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比,即长线段为全线段与短线段的比例中项。若设已知线段为AB,点CAB分割成ACBCACBC,且AC^2=AB·CB,那么分点C就是线段AB的黄金分割点.

于是,欧多克斯将这种比专称为“中外比”。在数学史上,是欧多克斯首先提出的中外比,不过希腊人发现中外比要更早一些。神秘的毕达哥拉斯学派曾以五角星形为其标志,五角星形的作图中就包含着中外比。雅典的巴特农神殿是古希腊的一大杰作,这座建造于公元前5世纪的神殿的宽与高之比就恰恰符合中外比。

中外比后来被世人通称为“黄金分割”,虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯,但是,它究竟起源于何时、何故呢?

黄金分割的起源

人们认为,黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。

五角星形是一种很耐人寻味的图案,世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家(如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等)的国旗上有五角星。为什么是五角而不是其他数目的角?也许是古代留下来的习惯。

五角星形的起源甚早,现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方(现属伊拉克)发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志,称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法,由此可知他已掌握了黄金分割的方法。现在人一般认为,黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。

系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的《几何原本》,在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的的问题,在第二卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法,其中写道:“以点H按中末比截线段AB,使ABAHAHHB”将这一式子计算一下:设AB1AH=x,则上面等式18,点HAB的黄金分割点,0.618叫做“黄金数”。

在《几何原本》中把它称为“中末比”。直到文艺复兴时期,人们重新发现了古希腊数学,并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中,因而高度推崇中末比的奇妙性质和用途。意大利数学家帕乔利称中末比为“神圣比例”;德国天文学家开普勒称中末比为“比例分割”,并认为勾股定理“好比黄金”,中末比“堪称珠玉”。最早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M·欧姆,他是发现电学的欧姆定律的G·S·欧姆的弟弟。他在自己的著作《纯粹初等数学》(第二版,1835)中用了德文字:“dergoldeneschnitt(黄金分割)”来表述中末比,以后,这一称呼才逐渐流行起来。

黄金分割与“兔子问题”

斐波那契是13世纪欧洲著名的数学家,他是意大利人。1202年出版的他的著作《算盘书》向欧洲人介绍了东方数学。这部书1228年修订本中引入了一个“兔子问题”。该题要求计算由一对兔子开始,一年后能繁殖多少对兔子。题中假定,一对兔子每一个月可以生一对小兔,而小兔出生的第二个月就能生新的小兔,这样开始时是一对,一月后成为2对,两月后3对,三个月后5对,……每个月的兔子对数排成一个数列:

123581321345589144233377,……叫“斐波那契数列”,其构造是从第3项起,每一项是前两项之和,即:fn=fn-1+fn-2n3),fn表示第n项。如果用G表示黄金分割数,这些比值越来越接近G,事实上,以G为极限。

这一有趣的性质非常奇特:由两个完全不同的数学领域来的问题得出了共同的结果。两者之间神奇的联系,使黄金分割更具神秘感和迷人的魅力。

黄金分割的启示

随着社会的发展,人们发现黄金分割在自然和社会中有着极其广泛的应用。例如,优选法中有两种方法与黄金分割就有关。其一就是本文开始时指出的“0618法”,它是美国数学家基弗于1953年提出的一种优选法,从1970年开始在我国推广,取得很好的经济效益。在现代最优化理论中,它能使我们用较少的实验找到合适的工艺条件和合理的配方。虽然G是一个无理数,0168是它的一个近似值,但在实际中使用已足够精确。其二是分数法,它取的也是G的近似值,但不是0618而是G的连分数展开式的渐近分数,也就是采用某一个“斐波那契数列”分数。

黄金分割运用也表现出数学发展的一个规律。它表明研究和发展数学理论是十分重要的。纯理论的发展对实践的作用也许不是直接的,但它所揭示的自然规律必将指导人们的社会实践。因此一方面我们遇到问题应该寻找数学方法解决,另一方面,我们也应为纯数学理论开辟应用领域。

此外,对“黄金分割”的神秘性附会的现象也是存在的。比如黄金分割与“美”的关系,有人说:用黄金分割所得的两段作边的矩形(即两边之比=G的矩形)是最美的。这是没有充分根据的,专家在做社会调查中也否定了这一结论。因此“黄金矩形最美”的结论是不确定的。由此推出的许多推测自然也是不可靠的。又比如说,人体的各部分长度(如从头顶到肚脐,由肚脐到脚跟)的比合于黄金分割比例才是最美的;建筑物的各部分的比例合乎黄金比例才是最美的等等。这些说法多半是牵强附会。

还有说乐器弦长的比等于黄金比,弹奏出的声音就和谐悦耳,也是一种误解,实际上,调和乐音的弦长必须成简单比,而黄金比是一个无理数!

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